Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm \(A(1;2;1);B(3;2;3)\); có tâm thuộc mặt phẳng \(\left(

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm \(A(1;2;1);B(3;2;3)\); có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 3 = 0,\) đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?
A. R=1
B. \(\sqrt{2}\)
C. R=2
D. \(2\sqrt{2}\)

Gọi I là tâm mặt cầu (S) \(I\left( {a,b,c} \right).\)
Suy ra \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I\left( {b + 3;b;c} \right)\)
\(I{A^2} = I{B^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\)
Rút gọn ta được \(c=1-2b\)
\({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - 2b} \right)^2} = 4{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2\)
Suy ra: \(\min R = 2\sqrt 2\) khi b = 0