Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3}

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4.\) Xét đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - mt\\z = \left( {m - 1} \right)t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right),\,\,m\) là tham số thực. Giả sử \(\left( P \right),\,\,\left( {P'} \right)\) là hai mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với (S) lần lượt tại T và \(T'.\) Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(TT'.\)
A. \(\frac{{4\sqrt {13} }}{5}.\)
B. \(2\sqrt 2 .\)
C. \(2.\)
D. \(\frac{{2\sqrt {11} }}{3}.\)

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right),\) bán kính \(R = 2.\)
Ta có: \(TT' = 2TH.\)
Tam giác HIT đồng dạng với tam giác TIM nên ta có:
\(\frac{{TH}}{{TM}} = \frac{{TI}}{{MI}} \Rightarrow TH = \frac{{TI.TM}}{{MI}} = \frac{{R\sqrt {M{I^2} - {R^2}} }}{{MI}} = R\sqrt {1 - \frac{{{R^2}}}{{M{I^2}}}} \)
Khi đó \(T{T'_{\min }} \Leftrightarrow T{H_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - mt\\z = \left( {m - 1} \right)t\end{array} \right. \Rightarrow x + y + z = 1\)
Suy ra d luôn thuộc một mặt phẳng cố định là \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0.\)
Khi đó \(M{I_{\min }} = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{5}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow TH = \frac{{2\sqrt {13} }}{5} \Rightarrow TT' = \frac{{4\sqrt {13} }}{5}.\)