Trong đợt hội trại "Khi tôi 18" được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ.

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Trong đợt hội trại "Khi tôi 18" được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100.000 đồng cho một m2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)

A. 615.000 đồng.
B. 450.000 đồng.
C. 451.000 đồng.
D. 616.000 đồng.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol có phương trình \(y = 4 - {x^2}\) và trục hoành.
Suy ra \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} dx = \frac{{32}}{3}{m^2}\).
Gọi điểm \(C\left( {a;0} \right),a > 0\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}D\left( { - a;0} \right)\\B\left( {a;4 - {a^2}} \right),A\left( { - a;4 - {a^2}} \right)\end{array} \right.\).
Gọi S1 là diện tích ABCD, suy ra \({S_1} = AB.BC = 2a\left( {4 - {a^2}} \right){m^2}\).
Gọi S2 là diện tích có hoa văn, suy ra \({S_2} = S - {S_1}\).
S2 nhỏ nhất khi và chỉ khi S1 lớn nhất.
Xét hàm số \(f\left( a \right) = 2a\left( {4 - {a^2}} \right),a \in \left( {0;4} \right)\)
Ta có \(f'\left( a \right) = 8 - 6{a^2} \Rightarrow f'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Xét bảng biến thiên hàm số f(a) với \(a \in \left( {0;4} \right)\)
Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left( {0;4} \right)} f\left( a \right) = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{32\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow {S_1}\left( {max} \right) = \frac{{32\sqrt 3 }}{9}{m^2}\)Suy ra \({S_2}\left( {\min } \right) = \frac{{32}}{3} - \frac{{32\sqrt 3 }}{9} \approx 4,51{m^2}.\).
Suy ra số tiền cần bằng 451.000 đồng.