Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những...

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích S của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét.

A. \(S = \frac{{125}}{6}\left( {{m^2}} \right)\)
B. \(S = \frac{{125}}{4}\left( {{m^2}} \right)\)
C. \(S = \frac{{250}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
D. \(S = \frac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là \(x = 0;x = - 5;x = 5\)
Dễ thấy diện tích mảnh đất Bernulli bao gồm diện tích 4 mảnh đất nhỏ bằng nhau.
Xét diện tích s của mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có:
\(4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right] \Rightarrow s = \frac{1}{4}\int\limits_0^5 {x\sqrt {25 - {x^2}} } dx = \frac{{125}}{{12}}\)
\(\Rightarrow S = 4.\frac{{125}}{{12}} = \frac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right).\)