Tính tổng x+h để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Khối Tròn Xoay|
Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V cho trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Tính tổng x+h để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất.
A. \(x+h=\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
B. \(x+h=\sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{2\pi }}}}\)
C. \(x+h=2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
D. \(x+h=3.\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)

Ta có: \(V = \pi {x^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}}\)
Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diên tích toàn phần của hộp phải nhỏ nhất.
Ta có:
\({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + 2\pi xh = 2\pi {x^2} + 2\pi x.\frac{V}{{\pi {x^2}}} = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x}\)
Đến đây có 2 cách làm:
+ Cách 1: Đặt \(f(x) = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x}\)
Tìm x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là diện tích xung quanh nhỏ nhất, từ đó suy ra h.
\(f'(x) = 4\pi x - \frac{{2V}}{{{x^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4\pi x - \frac{{2V}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {x^3} - 2V}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
Lập bảng biến thiên ta kiểm tra được hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
\(\Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}} = \frac{V}{{\pi \sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
\(\Rightarrow x + h = 3\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
+ Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cô-si:
\({S_{tp}} = 2\pi {x^2} + \frac{{2V}}{x} = 2\pi {x^2} + \frac{V}{x} + \frac{V}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {x^2}.\frac{V}{x}.\frac{V}{x}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\)
Dấu “=” xảy ra khi:
\(2\pi {x^2} = \frac{V}{x} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
\(\Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}} = \frac{V}{{\pi \sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}}} = 2\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)
\(\Rightarrow x + h = 3\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\)