Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}}\) giữa khối cầu và khối lăng trụ giới hạn bởi (C) và (T)?

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Khối Tròn Xoay|
Một hình lập phương có cạnh bằng 2a vừa nội tiếp hình lăng trụ (T) vừa nội tiếp mặt cầu (C). Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}}\) giữa khối cầu và khối lăng trụ giới hạn bởi (C) và (T)?
A. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \sqrt 3\)
B. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \sqrt 2\)
C. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Xét hình trụ \((T):AB = 2a \Rightarrow AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow {r_T} = OA = a\sqrt 2\), ngoài ra \(h= AA' = 2a\)
\({V_{(T)}} = \pi {\left( {{r_T}} \right)^2}h = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}.2a = 4\pi {a^3}\) (1)
Xét mặt cầu \((C):A'C = \sqrt {A{{A'}^2} + A{C^2}} = 2a\sqrt 3 \Rightarrow {r_c} = IC = a\sqrt 3\)
\({V_{(C)}} = \frac{4}{3}\pi {\left( {{r_c}} \right)^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 3 } \right)^3} = 4\pi \sqrt 3 .{a^3}\) (2)
(1) và (2) suy ra \(\frac{{{V_{(C)}}}}{{{V_{(T)}}}} = \sqrt 3\)