Toán 12 Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}.\)

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\). Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}.\)
A. \(T = \frac{4}{3}\)
B. \(T = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\)
C. \(T = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
D. \(T = \frac{8}{5}\)

Đặt \(k = {\log _9}a = {\log _{12}}b = {\log _{16}}\left( {a + b} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {9^k}\\b = {12^k}\\a + b = {16^k}\end{array} \right. \Rightarrow {9^k} + {12^k} = {16^k} \Rightarrow \frac{{{9^k}}}{{{{16}^k}}} + \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} = 1\)
Đặt \(t = \frac{{{3^k}}}{{{4^k}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} + t - 1 = 0\\t > 0\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
\( \Rightarrow T = \frac{b}{a} = \frac{{{4^k}}}{{{3^k}}} = \frac{1}{t} = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}.\)