Tính tỉ số \(\frac{V}{{{a^3}}}\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với \(AB = a,AD = 2a\); góc \(\widehat{BAD} = {60^0}\). SA vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng đáy là \(60^0\). Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tính tỉ số \(\frac{V}{{{a^3}}}\).
A. \(2\sqrt 3\)
B. \(\sqrt 3\)
C. \(\sqrt 7\)
D. \(2\sqrt 7\)

Ta có:
Áp dụng định lý Côsin và công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác ta lần lượt có:
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos A} = a\sqrt 3\)
\(AO = \sqrt {\frac{{A{B^2} + A{D^2}}}{2} - \frac{{B{D^2}}}{4}} = a\frac{{\sqrt 7 }}{2} \to AC = a\sqrt 7\)
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SAC}\).
\(\Rightarrow SA = AC.\tan \widehat {SCA} = AC.\tan {60^0} = a\sqrt {21}\)
Mà \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AD\sin A = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Do đó \({S_{ABCD}} = {a^2}\sqrt 3\)
Vậy \(\frac{V}{{{a^3}}} = \frac{{\frac{1}{3}SA.{S_{ABC}}}}{{{a^3}}} = \sqrt 7\).
Chọn C