Tính theo a thể tích khối chóp ABCD.A'B'C'D'

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(BCD = {120^0}\) và \(AA' = \frac{{7a}}{2}\). Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối chóp ABCD.A'B'C'D'.
A. \(V = 12{a^3}\)
B. \(V = 3{a^3}\)
C. \(V = 9{a^3}\)
D. \(V = 6{a^3}\)

Gọi \(O = AC \cap BD\)
Từ giả thuyết suy ra \(A'O \bot \left( {ABCD} \right)\)
\({S_{ABCD}} = BC.CD.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)
Vì \(\widehat {BCD} = {120^0}\) nên \(\widehat {ABC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều
\(\Rightarrow AC = a \Rightarrow A'O = \sqrt {A'{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {\frac{{49{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = 2\sqrt 3 a\)
Suy ra \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 3{a^3}\)