Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục AI

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Tam giác đều ABC và hình vuông MNPQ được xếp như hình vẽ với MN là đường trung bình của tam giác ABC. Biết cạnh của tam giác bằng 4. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục AI.

A. \(V = \left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 2} \right)\pi\)
B. \(V = \left( {\sqrt 3 + 2} \right)\pi\)
C. \(V = \left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3} + 2} \right)\pi\)
D. \(V = \left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 1} \right)\pi\)

Khi quay quanh trục AI tam giác ABC ta được hình nón có bán kính đáy là r = 2 và chiều cao \(h = \frac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3\) suy ra \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}\).
Hình vuông MNPQ khi quay quanh trục AI ta được hình trụ có \(h = MQ = MN = 2;r = \frac{{MN}}{2} = 1\)
Khi đó \({V_2} = \pi {r^2}h = 2\pi\)
Phần bị trùng là khối trụ có bán kính đáy \(r = \frac{{MN}}{2} = 1\) và chiều cao \(h = \frac{{4\sqrt 3 }}{2}:2 = \sqrt 3\)
Khi đó \({V_3} = \pi {r^2}h = \pi \sqrt 3\) suy ra \(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3} + 2} \right)\pi\).