Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho khối tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng \(60^0\). Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a.
A. \(V = \frac{{{a^3}}}{8}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)
C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{12}\)

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì Tam giác BDC đều nên DM vuông góc BC
Vì Tam giác ABC đều nên AM vuông góc BC
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là góc \(\widehat {DMA} = {60^0}.\)
Mặt khác tam giác BDC bằng tam giác ABC nên DM=AM.
Từ đó nhận thấy tam giác DAM cân và có 1 góc bằng 600 nên DAM là tam giác đều
nên AD=AM=DM
Ta có: \(DM = DB.\sin \left( {DBM} \right) = a.sin{60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
Kẻ DH vuông góc AM suy ra \(DH \bot \left( {ABC} \right)\)
Ta có \(DH = DM.\sin \left( {DMA} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\sin {60^0} = \frac{3}{4}a\)
\({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.DH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}.a.\left( {\frac{1}{2}{a^2}.sin{{60}^0}} \right) = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)