Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra do hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AB

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho tam giác ABC có AB ,BC, CA lần lượt bằng 3, 5, 7. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra do hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng AB.
A. \(V = 50\pi\)
B. \(V = \frac{{75\pi }}{4}\)
C. \(V = \frac{{275\pi }}{8}\)
D. \(V = \frac{{125\pi }}{8}\)

Với độ dài các cạnh như đề bài ta dựng được tam giác AB, trong đó B là góc tù.
Kẻ CH vuông góc BC như hình vẽ.
Ta có thể tích khối tròn xoay cần tìm là hiệu của thể tích khối nón có chiều cao h1=AH, bán kính đáy CH và khối nón có đường cao h2=BH, bán kính đáy CH.
Hay: \(V = \frac{1}{3}\pi .C{H^2}.(AH - BH) = \frac{1}{3}\pi .C{H^2}.AB\)
\(\Delta ABC\) có nửa chu vi \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 9 = 7,5\)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}CH.AB = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - BC} \right)\left( {p - CA} \right)} = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}\)
\(\Rightarrow CH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)
\(V = \frac{1}{3}\pi .C{H^2}.AB = \frac{{75}}{4}\pi\)