Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy lớn \(AB = 2a,AB = BC = a\). Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. \(V = \frac{{8\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}.\)
B. \(V = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{2}.\)
C. \(V = \frac{{64\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}.\)
D. \(V = 8\sqrt 2 \pi {a^3}.\)

Gọi I, O lần lượt là trung điểm của AD và SD. Ta có BI là đường trung tuyến của tam giác BAD và \(BI = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta BAD\) là tam giác vuông \( \Rightarrow BD \bot SB \Rightarrow O\) cách đều 3 điểm S, B, D. Tương tự O cách đều 3 điểm S, C, D. Mà \(\Delta SAD\) vuông nên O cách đều 3 điểm S, A, D. Vậy O là tâm của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có:
\(SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 2 \)
Bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(R = SO = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \)
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^3} = \frac{{8\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\).