Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và SA=2a. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. \(V = 9\pi {a^3}\)
B. \(V = \frac{9\pi {a^3}}{2}\)
C. \(V = \frac{9\pi {a^3}}{8}\)
D. \(V = 36\pi {a^3}\)

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, M và I lần lượt là trung điểm SA, SC suy ra AOIM là hình chữ nhật.
Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\) nên OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
\(IM \bot SA \Rightarrow IM\) là trung trực SA trong mặt phẳng (SAC).
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
\(\begin{array}{l} OI = AM = \frac{{SA}}{2} = a\\ OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \end{array}\)
Bán kính và thể tích mặt cầu lần lượt là:
\(R = IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}} = \frac{{3a}}{2}\)
\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{9\pi {a^3}}}{2}.\)