Tính thể tích tứ diện K.SDC

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a với \(SA = \frac{a}{2},SB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},BAD = {60^0}\) và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích tứ diện K.SDC.
A. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}}}{{16}}\)
C. \(V = \frac{{{a^3}}}{8}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}}}{{32}}\)

Từ giả thiết ta có \(AB = a,SA = \frac{a}{2},SB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Nên \(\Delta ASB\) vuông tại \(S \Rightarrow SH = \frac{{AB}}{2} \Rightarrow \Delta SAH\) đều
Gọi M là trung điểm của AH thì \(SM \bot AB\)
Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vậy \({V_{KSDC}} = {V_{S.KCD}} = \frac{1}{3}.SM.{S_{\Delta KCD}} = \frac{1}{3}.SM.\frac{1}{2}{S_{\Delta BAD}}\)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{2}.\frac{{a.a\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{{a^3}}}{{32}}\) (đvtt)