Tính thể tích khối lăng trụ theo a

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC=a; góc ACB=60. Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B) tạo với mặt (AA’C’C) một góc 30 độ. Tính thể tích khối lăng trụ theo a.
A. \(V = {a^3}\sqrt 6\)
B. \(V= {a^3}\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
C. \(V = {a^3}\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)
D. \(V = {a^3}\frac{{4\sqrt 6 }}{3}\)

ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên \(A'A \bot \left( {ABC} \right)\).
Do: \(\left\{ \begin{array}{l} BA \bot AC\\ BA \bot AA' \end{array} \right. \Rightarrow BA \bot (AA'C'C)\).
Suy ra: \(\widehat {AC'B}\) là góc giữa BC’ với mặt phẳng (AA’C’C).
\(AB = \tan \widehat {ACB} = a\sqrt 3 ;C'A = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {AC'B}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = 3a\)
\(CC' = \sqrt {C'{A^2} - A{C^2}} = 2a\sqrt 2\)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \to V = {a^3}\sqrt 6\)