Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A’ lên \(\left( {ABCD} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết AB = a , \(\widehat {ABC} = {120^0}\), \(AA' = a\).
A. \({a^3}\sqrt 2 \).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} \cdot \)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} \cdot \)
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2} \cdot \)
A. \({a^3}\sqrt 2 \).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} \cdot \)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} \cdot \)
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2} \cdot \)
Gọi SH là trọng tâm của tam giác \(ABD\) \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABCD} \right)\). Ta có: \(\widehat {BAD} = {180^0} - \widehat {ABC} = {60^0}\). Tam giác \(ABD\) cân có \(\widehat {BAD} = {60^0}\) nên tam giác \(ABD\) đều. \(ABD\) là tam giác đều cạnh a\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(\Delta A'AH\) vuông tại SH\( \Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\); \({V_{ABCDA'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Delta A'AH\) vuông tại SH\( \Rightarrow A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\); \({V_{ABCDA'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\)