Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết \(BD = a\), \(AC = a\sqrt 3 \).
A. \({a^3}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} \cdot \)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} \cdot \)
D. \(\frac{{{a^3}}}{3} \cdot \)
Gọi I là giao điểm của AC và \(BD\).
ABCD là hình thoi \( \Rightarrow AC \bot BD\),
O là trung điểm của AC, \(BD\).
\(\Delta ABO\,\) vuông tại O \( \Rightarrow AB = \sqrt {A{O^2} + O{B^2}} = a\).
\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi SH là trung điểm \(AB\). \(\Delta SAB\) vuông cân tại S cạnh AB = a \( \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\).
Ta có: \(\Delta SAB\) cân \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) (vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)).
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
A. \({a^3}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} \cdot \)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} \cdot \)
D. \(\frac{{{a^3}}}{3} \cdot \)
Gọi I là giao điểm của AC và \(BD\).
ABCD là hình thoi \( \Rightarrow AC \bot BD\),
O là trung điểm của AC, \(BD\).
\(\Delta ABO\,\) vuông tại O \( \Rightarrow AB = \sqrt {A{O^2} + O{B^2}} = a\).
\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi SH là trung điểm \(AB\). \(\Delta SAB\) vuông cân tại S cạnh AB = a \( \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\).
Ta có: \(\Delta SAB\) cân \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) (vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)).
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).