Cho hình chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tạiB. Biết \(\Delta SAB\) là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB = a , \(AC = a\sqrt 3 \).
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}} \cdot \)
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4} \cdot \)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} \cdot \)
D. \(\frac{{{a^3}}}{4} \cdot \)
\(\Delta ABC\,\) vuông tại B \( \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \) .
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi SH là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có: \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\)
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)(vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) ).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}} \cdot \)
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4} \cdot \)
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} \cdot \)
D. \(\frac{{{a^3}}}{4} \cdot \)
\(\Delta ABC\,\) vuông tại B \( \Rightarrow BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 \) .
\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi SH là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có: \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\)
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)(vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) ).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)