Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi \(y = 2 - {x^2};y = 1\) quanh trục Ox.

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi \(y = 2 - {x^2};y = 1\) quanh trục Ox.
A. \(S = \frac{{56}}{{15}}\pi \)
B. \(S = \frac{{15}}{{56}}\pi \)
C. \(S = \frac{{56}}{{15}}\)
D. \(S = \frac{{15}}{{56}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(2 - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left( {2 - {x^2}} \right)}^2} - {1^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|dx} \\ = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} - \frac{4}{3}{x^3} + 3x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{56}}{{15}}\pi .\end{array}\)