Tính thể tích V của tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a và \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Tính thể tích V của tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a và \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
A. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)
B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\)
C. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} DM \bot BC\\ AM \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (ADM)\)
Ta có: \(DM = AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = AD\)
Suy ra tam giác AMD đều.
Gọi N là trung điểm của AM suy ra N là hình chiếu của D lên đáy (ABC).
\(DN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{3}{4}a.\)
Vậy: \(V = \frac{1}{3}DN.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}.a.\frac{1}{2}a.a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^3}.\)