Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a

Khối đa diện |Xác định Góc Và Khoảng Cách Trong Khối đa Diện|
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a,\(SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\) . Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a.
A. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\)
B. \(d= \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\)
C. \(d = \frac{{a\sqrt {21} }}{5}\)
D. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\)

Ta có
\(SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {S{D^2} - H{A^2} - A{D^2}} = a\sqrt 3\)
Kẻ \(HM \bot BD\), gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:
\(AO = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow HM = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
\(HK//BD \Rightarrow HK//\left( {SBD} \right)\)
\(\Rightarrow d\left( {HK;SD} \right) = d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right)\)
Mà \(d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right)\)
Kẻ \(HN \bot SM\) tại M. Khi đó \(d\left( {H;\left( {SBD} \right)} \right) = HN\).
\(\frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow HN = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\)
\(\Rightarrow d\left( {HK;SD} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\)