Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Khối đa diện |Xác định Góc Và Khoảng Cách Trong Khối đa Diện|
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(a^3\). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
A. \(d = \frac{{6{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\)
B. \(d = \frac{{{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\)
C. \(d = \frac{{4{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{65}}\)
D. \(d = \frac{{8{\rm{a}}\sqrt {195} }}{{195}}\)

Gọi các điểm như hình vẽ.
Ta có \(AI \bot BC,SA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right)\)
Suy ra \(BC \bot AK \Rightarrow AK = {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}\)
Ta có: \(V = {a^3},{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SA = 4a\sqrt 3\)
Mà \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong tam giác vuông SAI ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}}\)
Vậy \(d = AK = \sqrt {\frac{{A{S^2}.A{I^2}}}{{A{S^2} + A{I^2}}}} = \frac{{4a\sqrt {195} }}{{65}}.\)