Tính khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD)

Khối đa diện |Xác định Góc Và Khoảng Cách Trong Khối đa Diện|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = 2a\); cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD) .
A. d=a
B. \(d = \frac{{2a}}{3}\)
C. \(d = \frac{{a}}{3}\)
D. \(d = \frac{{a}}{2}\)

Gọi K là hình chiếu của A lên BD nên \(AK \bot BD\)
Ta có \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD \Rightarrow BD \bot (SAK)\)
Từ A kẻ \(AH \bot BD(H \in BD)\) mà \(BD \bot (SAK) \Rightarrow BD \bot AH\)
\(\Rightarrow AH \bot (SBD) \Rightarrow d(A;(SBD)) = AH\)
Kẻ \(\Delta SAK\) vuông tại A, đường cao AH khi đó \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}}\)
Mặt khác \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\)
Suy ra \(AH = \frac{{2a}}{3}\), vậy khoảng cách cần tính là \(d(A;(SBD)) = \frac{{2a}}{3}\)