Toán 12 Tính giá trị của tỉ số \(\frac{M}{m}\).

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\) trên đoạn [0;3]. Tính giá trị của tỉ số \(\frac{M}{m}\).
A. \(\frac{M}{m}=\frac{4}{3}\)
B. \(\frac{M}{m}=\frac{5}{3}\)
C. \(\frac{M}{m}=2\)
D. \(\frac{M}{m}=\frac{2}{3}\)

Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn [0;3]
\(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} - x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} x \in \left( {0;3} \right)\\ y' = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow x = 1.\)
Ta có \(f(0) = 4;f(1) = 3;f(3) = 4.\)
Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 3;{\rm{ }}M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}.\)