Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}^2x + 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;b} \right].\) Tính giá trị của \(P = {a^2}\sqrt b .\)
A. P=16
B. P=12
C. P=8
D. P=4
\(\log _{\frac{1}{2}}^2x = 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 1} \right)\left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 2} \right) \le 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1 - {\log _2}x)(2 - {\log _2}x) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le {\log _2}x \le 2\\ \Leftrightarrow {2^1} \le x \le {2^4} \Leftrightarrow 2 \le x \le 4 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện, ta được:
\(\begin{array}{l} S = \left[ {2;4} \right] = \left[ {a;b} \right]\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow {a^2}\sqrt b = 8. \end{array}\)
A. P=16
B. P=12
C. P=8
D. P=4
Học lớp hướng dẫn giải
Điều kiện: x>0. Khi đó:\(\log _{\frac{1}{2}}^2x = 3{\log _{\frac{1}{2}}}x + 2 \le 0 \Leftrightarrow \left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 1} \right)\left( {{{\log }_{{2^{ - 1}}}}x + 2} \right) \le 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1 - {\log _2}x)(2 - {\log _2}x) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le {\log _2}x \le 2\\ \Leftrightarrow {2^1} \le x \le {2^4} \Leftrightarrow 2 \le x \le 4 \end{array}\)
Kết hợp với điều kiện, ta được:
\(\begin{array}{l} S = \left[ {2;4} \right] = \left[ {a;b} \right]\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 2}\\ {b = 4} \end{array}} \right. \Rightarrow {a^2}\sqrt b = 8. \end{array}\)