Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là \(P = 8\pi + 10\), người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu
Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu
Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)?

A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{21}}{{\sqrt 7 }}\)
B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\)
C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)
D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R. Do đó độ dài cung tròn là \(l = 8\pi\)
Theo cách thứ nhất: \(8\pi\) chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là \(2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4\)
Khi đó \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\)
\(\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}.3\pi {.4^2}\)
Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là \(8\pi \Leftrightarrow\) chu vi của một đường tròn đáy là \(4\pi \Rightarrow 4\pi = 2\pi {\rm{r}} \Rightarrow r = 2\)
Khi đó \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21}\)
\(\Rightarrow {V_2} = 2.\frac{1}{3}\sqrt {21} {.2^2}.\pi\)
Khi đó \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{4^2}}}{{\frac{{8\sqrt {21} }}{3}}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\).