Tính độ dài đoạn thẳng MN

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( {3;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z - 1 = 0\). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P). Tính độ dài đoạn thẳng MN.
A. \(2\sqrt 3 \)
B. \(\frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
C. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
D. 4

Đặt: \(f\left( {x;y;z} \right) = x + y - z - 1 \Rightarrow f\left( A \right).f\left( B \right) > 0\) suy ra A, B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P)
Ta có \(AM = d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }},BN = d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \) và \(AB = 2\sqrt 3 \)
Gọi H là hình chiếu của A trên BN
Khi đó \(AH = MN = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {BN - AM} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Ngoài cách làm trên, ta có thể tìm tọa độ hình chiếu của A, B là M, N sau đó tính khoảng cách.