Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^0\). Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD.
A. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)
B. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
C. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
D. \({S_{xq}} = 2\pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{6}}\)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ACBD} \right).\)
Suy ra, OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mp(ABCD)
Do đó, \(\widehat {SBO} = {60^0}\). Kết hợp \(r = OB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ta suy ra:
\(h = SO = OB.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\(l = SB = \frac{{OB}}{{\cos {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2.\cos {{60}^0}}} = a\sqrt 2\)
Diện tích xung quanh của mặt nón: \({S_{xq}} = \pi .r.l = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = \pi {a^2}.\)
Thể tích hình nón: \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}\pi \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)