Tính diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và khoảng cách từ tâm của đáy đến một mặt bên bằng \(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}.\) Tính diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình nón có đỉnh S và đáy là hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
A. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {3 - \sqrt 2 } \right){a^2}}}{2}.\)
B. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {3 + \sqrt 2 } \right){a^2}}}{2}.\)
C. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {2 + \sqrt 3 } \right){a^2}}}{2}.\)
D. \({S_{tp}} = \frac{{\pi \left( {1 + \sqrt 3 } \right){a^2}}}{2}.\)

Dựng \(\left\{ \begin{array}{l}OE \bot CD\\OF \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow OF \bot \left( {SCD} \right).\)
Ta có: \(\frac{1}{{O{F^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = a\)
\( \Rightarrow {l_N} = SD = \sqrt {S{O^2} + O{D^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}.\)
\({R_d} = OD = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi rl = \frac{{\pi \left( {1 + \sqrt 3 } \right){a^2}}}{2}.\)