Tính diện tích S của thiết diện của (P) với khối nón

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho khối nón tròn xoay có đường cao h=20 cm, bán kính đáy r=25 cm. Một mặt phẳng chứa đỉnh S và giao tuyến với mặt phẳng đáy là AB. Khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng (P) là 12 cm. Tính diện tích S của thiết diện của (P) với khối nón.
A. S=500 cm2
B. S=475 cm2
C. S=450 cm2
D. S=550 cm2

Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường
sinh bằng nhau là SA=SB nên ta có thiết diện là tam giác cân SAB.
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có \(OI \bot AB.\) Từ tâm O của đáy ta kẻ \(OH \bot SI\) tại H, ta có \(OH \bot \left( {SAB} \right)\) và do đó theo giả thiết ta có \(OH=12 cm\). Xét tam giác vuông SOI tại O ta có :
\(\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{1{2^2}}} - \frac{1}{{{{20}^2}}}\)\(\Rightarrow OI = 15\left( {cm} \right)\)
Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta có: \(OS.OI = SI.OH\)
Do đó \(SI = \frac{{OS.OI}}{{OH}} = \frac{{20.15}}{{12}} = 25\left( {cm} \right)\)
Gọi \({S_t}\) là diện tích của thiết diện SAB.
Ta có: \({S_t} = \frac{1}{2}AB.SI,\) trong đó AB=2AI.
Vì \(A{I^2} = O{A^2} - O{I^2} = {25^2} - 1{5^2} = {20^2}\) nên AI=20cm.
Vậy thiết diện SAB có diện tích là: \({S_t} = \frac{1}{2}.40.25 = 500\left( {c{m^2}} \right)\)