Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A. \(S = \frac{{\pi {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{4}\)
B. \(S = \frac{{\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2}\)
C. \(S= \pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
D. \(S = \pi {\left( {a + b + c} \right)^2}\)

Gọi I là trung điểm của AB.
Kẻ \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng (SAB) tại I.
Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt \(\Delta\) tại O.
Suy ra: OC=OS(1)
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác SAB vì SAB vuông tại S.
Suy ra OA=OB=OS (2)
Từ (1);(2) suy ra OA=OB=OC=OS.
Vậy A, B, C, S thuộc mặt cầu tâm O bán kính OA.
\(R = OA = \sqrt {O{I^2} + A{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}}\)
Vậy diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {\left( {\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} } \right)^2} = \pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)