Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\), \(y = \left( {1 + {e^x}} \right)x.\)

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\), \(y = \left( {1 + {e^x}} \right)x.\)
A. \(S = e + \frac{1}{2}.\)
B. \(S = e - \frac{1}{2}.\)
C. \(S = \frac{e}{2} - 1.\)
D. \(S = \frac{e}{2} + 1.\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \((e + 1)x = (1 + {e^x})x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Diện tích \(S = \int\limits_0^1 {\left| {(e + 1)x - (1 + {e^x})x} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {(e - {e^x})x{\rm{d}}x}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = (e - {e^x})dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\ v = ex - {e^x} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^1 {(e - {e^x})x{\rm{d}}x} = \left. {x(ex - {e^x})} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {(ex - {e^x}){\rm{d}}x} \\ = - \left. {\left( {e\frac{{{x^2}}}{2} - {e^x}} \right)} \right|_0^1 = \frac{e}{2} - 1. \end{array}\)
Vậy: \(S = \frac{e}{2} - 1.\)