Tính bán kính R của mặt cầu (S)

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho (S) là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh a. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
A. \(R = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
B. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
C. \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
D. \(R = \frac{a}{2}\)

S.ABC là tứ diện đề nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Trong mặt phẳng (SAO), kẻ đường trung trục của cạnh SA, d cắt SO tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có: \(\Delta SAO \sim \Delta SIN \Rightarrow SI = \frac{{SN.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2\sqrt {S{A^2} - A{O^2}} }}\)
Vậy: \(R = SI = \frac{{{a^2}}}{{2\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)