Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng \(60^0\). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. \(R = \frac{a}{3}\).
B. \(R = \frac{2a}{3}\).
C. \(R = \frac{a \sqrt 3}{3}\).
D. \(R = \frac{4a}{3}\).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, BC.
Đường thẳng qua G vuông góc với (ABC) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mặt phẳng trung trực của SA qua M cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại I.
Ta có I chính làm tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Ta có \(AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\); \(SG = AG.\tan 60^\circ = a.\)
\(SA = \frac{{AG}}{{\cos {{60}^o}}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
\(\Rightarrow \frac{{SM}}{{SG}} = \frac{{SI}}{{SA}} \Rightarrow R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SG}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{S{A^2}}}{{SG}} = \frac{{2a}}{3}.\)