Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, cạnh bên SC=2a và SC vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. \(R = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\)
B. \(R = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)
C. \(R = 2a\)
D. \(R = 3a\)

Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC.
Trong mp(SCM), dựng đường thẳng d đi qua G và song song với SC.
Ta có: \(SC \bot (ABC) \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\) do đó d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong mặt phẳng (SCM) kẻ đường trung trực \(\Delta\) của SC: \(\Delta \cap d=O\)
\(\left\{ \begin{array}{l} O \in d\\ O \in \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} OA = OB = OC\\ OS = OC \end{array} \right.\)
Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bán kính R=OC.
Gọi N là trung điểm SC, tứ giác CGIN là hình bình hành, suy ra: \(OG = CN = \frac{1}{2}SC = a\)
Ta có: \(CM = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2},\,\,CG = \frac{2}{3}CM = \frac{2}{3}.\frac{3}{2}a\sqrt 3 = a\sqrt 3\)
Vậy: \(R = OC = \sqrt {C{G^2} + G{O^2}} = 2a.\)