Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh A .
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Cho tứ diện ABCD đều cạnh A . Gọi I là trung điểm cạnh BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,AG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và DG là trục của tam giác ABC. Trong mp(DAG) kẻ trung trực của DA cắt DG tại O thì OD = OA = OB = OC nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài đoạn OD.
Trong tam giác ADG vuông tại G, ta có:
\(D{A^2} = D{G^2} + G{A^2} \Rightarrow D{G^2} = D{A^2} - G{A^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{6{a^2}}}{9}\)\( \Rightarrow DG = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Mặt khác do tứ giác AGOI nội tiếp nên ta có: \(DJ.DA = DO.DG \Rightarrow DO = \frac{{D{A^2}}}{{2DG}} \Rightarrow R = DO = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
Gợi ý: Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.
Nhận xét: Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều. Tứ diện đều cũng là một hình chóp tam giác đều.
A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Cho tứ diện ABCD đều cạnh A . Gọi I là trung điểm cạnh BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,AG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và DG là trục của tam giác ABC. Trong mp(DAG) kẻ trung trực của DA cắt DG tại O thì OD = OA = OB = OC nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bán kính R của mặt cầu bằng độ dài đoạn OD.
Trong tam giác ADG vuông tại G, ta có:
\(D{A^2} = D{G^2} + G{A^2} \Rightarrow D{G^2} = D{A^2} - G{A^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{6{a^2}}}{9}\)\( \Rightarrow DG = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Mặt khác do tứ giác AGOI nội tiếp nên ta có: \(DJ.DA = DO.DG \Rightarrow DO = \frac{{D{A^2}}}{{2DG}} \Rightarrow R = DO = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}.\)
Nhận xét: Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều. Tứ diện đều cũng là một hình chóp tam giác đều.
- R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình: Chóp, Nón, Lăng trụ, Trụ
- Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên.
- h là đường cao của khối Chóp, Nón, Lăng trụ, Trụ
- (O; O') là tâm đáy (O' trong trường hợp lăng trụ, Trụ)
- Sd là diện tích đáy
Sửa lần cuối: