Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Khối Tròn Xoay|
Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là \(R = 3\sqrt 3 \,cm\). Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thi hút khách hàng).

A. \(108\pi \,\,c{m^3}\)
B. \(54\pi \,\,c{m^3}\)
C. \(18\pi \,\,c{m^3}\)
D. \(45\pi \,\,c{m^3}\)

Gọi chiều cao hình trụ là h, bán kính đáy là r và bán kính hình cầu \(R = 3\sqrt 3 \)
Ta có, để thể tích của hình trụ là lớn nhất thì sẽ phải thỏa mãn đẳng thức sau: \(\frac{{{h^2}}}{4} + {r^2} = {R^2} = 27\)
Và ta cần tìm max của biểu thức: \(V = \pi {r^2}h\)
Áp dụng BĐT CôSi cho các số thực dương ta có:
\(27 = {r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = \frac{{{r^2}}}{2} + \frac{{{r^2}}}{2} + \frac{{{h^4}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{r^4}{h^2}}}{{14}}}} \Rightarrow {r^4}{h^2} \le 11664 \Rightarrow {r^2}h \le 108\)
\( \Rightarrow V \le 108\pi \left( {c{m^3}} \right).\)