Toán 12 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^4} - 4{x^2} + m = 0\) có ...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Sự Tương Giao Giữa Các đồ Thị Hàm Số|
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^4} - 4{x^2} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt?
A. \(m=4\)
B. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left\{ 4 \right\}\)
C. \(m<0\)
D. \(0<m<4\)

Ta có: \({x^4} - 4{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} = - m\)
Xét hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2}\)
\(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt 2 \\ x = \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Bảng biên thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left[ \begin{array}{l} - m = - 4\\ - m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 4\\ m < 0 \end{array} \right..\)