Toán 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + m = 0\) có nghiệm.
A. \(0 \le m \le 2\)
B. \(\left| m \right| \ge 2\)
C. \(-2 \le m \le 0\)
D. \(-2 \le m \le 2\)

TXĐ: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)
Xét hàm số \(f(x) = (1 - {x^2})\sqrt {4 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 2;2} \right]\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = - 2x\sqrt {4 - {x^2}} - (1 - {x^2}).\frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = - \frac{{2x(4 - {x^2}) + x(1 - {x^2})}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{3{x^2} - 9x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\\ f( - 2) = f(2) = 0\\ f( - \sqrt 3 ) = f(\sqrt 3 ) = - 2\\ f(0) = 0\\ \Rightarrow \min f(x) = - 2;\,\max f(x) = 2 \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi \(- 2 \le m \le 2.\)