Toán 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Sự Tương Giao Giữa Các đồ Thị Hàm Số|
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(\left( d \right):x - 2y + m = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt.
A. \(\frac{{3 - 4\sqrt 2 }}{2} < m < \frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(3 - 4\sqrt 2 < m < 3 + 4\sqrt 2\)
C. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < \frac{{3 - 4\sqrt 2 }}{2}}\\ {m > \frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} \right.\)
D. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 3 - 4\sqrt 2 }\\ {m > 3 + 4\sqrt 2 } \end{array}} \right.\)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{x - 3}}{{x + 1}} = \frac{{x + m}}{2}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 6 + m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\)
Đường thẳng \(\left( d \right):x - 2y + m = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 6m - 23 > 0}\\ {{{\left( { - 1} \right)}^2} + \left( {m - 1} \right)\left( { - 1} \right) + 6 + m \ne 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 3 - 4\sqrt 2 \vee m > 3 + 4\sqrt 2 }\\ {\forall m} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow m < \frac{{3 - 4\sqrt 2 }}{2}\) hoặc \(m > \frac{{3 + 4\sqrt 2 }}{2}\).