Toán 12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\)

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x + {m^2}}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;3] bằng \(\frac{5}{6}\).
A. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{3}{5}\)
B. \(m=3\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)
C. \(m=3\)
D. \(m=2\) hoặc \(m=\frac{2}{5}\)

Với m=1 ta có y=1, nên GTLN của hàm số trên [2;3] bằng 1.
Ta có: \(y' = \frac{{{m^3} - 1}}{{{{(x + {m^2})}^2}}}\)
Với m>1 ta có hàm ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=3.
Ta có: \(\frac{{3m + 1}}{{3 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3 > 1\\ m = \frac{3}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy m=3 thỏa yêu cầu bài toán.
Với m<1 ta có hàm ta có hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm số đạt GTLN trên [2;3] tại x=2.
Ta có: \(\frac{{2m + 1}}{{2 + {m^2}}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 5{m^2} - 12m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 > 1\\ m = \frac{2}{5} < 1 \end{array} \right.\)
Vậy\(m = \frac{2}{5}\) thỏa yêu cầu bài toán.