Toán 12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số...

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số|
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}}\) trên [-1;1] bằng 2.
A. \(\left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)
B. m = 0
C. \(m = \pm \sqrt 2\)
D. Không tồn tại m

Để hàm số liên tục trên [-1;1] thì \(m \notin \left[ { - 1;1} \right]\)
Khi đó: \(y = \frac{{{m^3}x + 2}}{{x - m}} \Rightarrow y' = - \frac{{{m^4} + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} < 0;\forall x \ne m\) suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên [-1;1]
Mặt khác hàm số liên tục trên đoạn [-1;1] nên:
\(\mathop {\min }\limits_{[ - 1;1]} y = y(1) = \frac{{{m^3} + 2}}{{1 - m}} = 2 \Leftrightarrow {m^3} + 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \in \left[ { - 1;1} \right].\)
Vậy không có giá trị m nào thỏa yêu cầu bài toán.