Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1.\)

Hàm số mũ | Hàm số lũy thừa | Hàm số mũ và lũy thừa | hàm số loagrit | logarit |
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1.\)
A. \(S = \left[ {\frac{5}{2};3} \right]\)
B. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(S = \left( {2;\frac{5}{2}} \right]\)
D. \(S = (2;3]\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 2x - 1 > 0\\ x - 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\) (*). Khi đó:
\(\begin{array}{l} {\log _2}\left( {2x - 1} \right) - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}(2x - 1) + {\log _2}(x - 2) \le 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {(2x - 1)(x - 2)} \right] \le 1 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow (2x - 1)(x - 2) \le {2^1} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{5}{2}\)
Kết hợp với (*) ta được \(2 < x < \frac{5}{2}\) là nghiệm của bất phương trình.