Phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {\frac{x}{{x - 1}}} \right) = m\\x > 2\end{array} \right.\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _2}f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)
Có \(f'\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x > 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 1\) nên ta có các tập giá trị của các hàm số \(f\left( x \right) \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {\log _2}f\left( x \right) = \left( {0; + \infty } \right)\)
Vậy để phương trình có nghiệm thì: \(0 < m < + \infty .\)
