Tìm S là diện tích lớn nhất của tam giác AB

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Nón, Hình Nón, Khối Nón|
Cho khối nón đỉnh O trục OI, bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng \(\frac{a}{2}\). Mặt phẳng (P) thay đổi luôn 2 luôn đi qua O và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác ABO. Tìm S là diện tích lớn nhất của tam giác ABO.
A. \(S = \frac{{{a^2}}}{2}\)
B. \(S = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
C. \(S = \frac{{3{a^2}}}{8}\)
D. \(S = \frac{{5{a^2}}}{8}\)

Ta có:
\(\begin{array}{l} {S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat {AOB} = \frac{1}{2}.O{A^2}.\sin \widehat {AOB}\\ = \frac{1}{2}\left( {a + \left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)} \right).\sin \widehat {AOB} \end{array}\)
Do bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng \(\frac{a}{2}\) nên \(0 < \widehat {AOB} \le {90^0}\)
Diện tích tam giác OAB lớn nhất khi \(\sin \widehat {AOB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {AOB} = {90^0}\) hay tam giác OAB là thiết diện qua trục \(\Rightarrow {S_{\max }} = \frac{5}{8}{a^2}\)