Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}\) biết rằng hàm

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}\) biết rằng hàm số \(F\left( x \right)\) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành.
A. \(F\left( x \right) = {e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} - {e^2}.\)
B. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x + 2}} - 1}}{{3{e^2}}}.\)
C. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - {e^2}}}{3}.\)
D. \(F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3x}} - 1}}{3}.\)

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}d{\rm{x}}} \)
Đặt \(u = {x^3} - 3x \Rightarrow du = 3\left( {{x^2} - 1} \right)dx\)
Vậy: \(F(x) = \frac{1}{3}\int {{e^u}du} = \frac{1}{3}{e^u} + C = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} + C\)
Ta có: \(F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
Mặt khác \(F''\left( x \right) = f'\left( x \right) = 2{\rm{x}}{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} + 3\left( {{x^2} - 1} \right){e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F''\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}} > 0\\
F''\left( { - 1} \right) = - 2{{\rm{e}}^2} < 0
\end{array} \right..\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Từ đề bài suy ra:\(F\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}}}}}}{3} - \frac{1}{{3{{\rm{e}}^2}}} = \frac{{{e^{{x^3} - 3{\rm{x}} + 2}} - 1}}{{3{{\rm{e}}^2}}}.\)