Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}\).

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}\).
A. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\)
B. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + \frac{1}{{\cos x}} + C\)
C. \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)
D. \(\int {f(x)dx} = - \frac{1}{{\cos x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} + C\)

\(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{{{\sin }^2}x.\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x}}{{{{\cos }^4}x}}dx}\)
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = \sin xdx\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = - \int {\frac{{1 - {u^2}}}{{{u^4}}}du = - \int {\left( {\frac{1}{{{u^4}}} - \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du} } \\ = - \left( { - \frac{1}{3}.\frac{1}{{{u^3}}} + \frac{1}{u}} \right) + C \end{array}\)
Vậy \(\int {f(x)dx} = \frac{1}{{3{{\cos }^3}x}} - \frac{1}{{\cos x}} + C\) .