Toán 12 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2)

Dạng toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên 1 khoảng là một dạng bài thường gặp khi thi đại học. Xin giới thiệu với các bạn một ví dụ:
Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}.\) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).
A. \(3{e^3} + 1 \le m \le 3{e^4} + 1\)
B. \(m \ge 3{e^4} + 1\)
C. \(3{e^2} + 1 \le m \le 3{e^3} + 1\)
D. \(m < 3{e^2} + 1\)

Ta có \(y'=\left [ \left ( \frac{4}{2017} \right ) ^{3x-(m-1)e^x+1}\right ]'= \ln \frac{4}{{2017}}.{\left( {\frac{4}{{2017}}} \right)^{{e^{3x - (m - 1){e^x} + 1}}}}.\left[ {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x}} \right]\)
Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' > 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{e^{3x}} - (m - 1){e^x} < 0}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 3{e^{2x}} + 1 = f(x)}\\ {\forall x \in (1;2)} \end{array}} \right.\)
Xét hàm số \(f(x) = 3{e^{2x}} + 1\)
Có \(f'(x) = 6{e^{2x}} > 0,\forall x \in (1;2)\)
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi \(m \ge 3{e^4} + 1.\)