Toán 12 Tìm m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - mx + m}}{{{x^2} - 2mx + m + 6}}\) có đúng một tiệm cận ngang.

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Tiệm Cận|
Tìm m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - mx + m}}{{{x^2} - 2mx + m + 6}}\) có đúng một tiệm cận ngang.
A. \(m \in \left\{ { - 2;3} \right\}\)
B. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
C. \(m \in \left( { - \infty ; - 2} \right]\)
D. \(m \in \left( { - 2;3} \right)\)

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{m}{x} + \frac{m}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{{ - 2m}}{x} + \frac{{m + 6}}{{{x^2}}}}} = 1\)
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\)
Vậy đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 1.
Vậy với mọi m mà hàm số đã cho xác định, ta luôn có một tiệm cận ngang, tức là ta đi tìm điều kiện xác định của hàm số: \({x^2} - 2mx + m + 6 \ne 0\).
Phương trình VN khi \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 6 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3.\)